Récursivité

Programme officiel

Capacités attendues

Écrire un programme récursif.
Analyser le fonctionnement d'un programme récursif.

Principe récursif

Pour résoudre un problème, on se ramène à la résolution d'un problème similaire mais moins complexe, jusqu'à l'obtention d'un problème élémentaire.

Les différents problèmes intermédiaires sont stockés dans une pile que l'on dépilera

Un peu d'histoire

Les premiers langages de programmation qui ont autorisé l'emploi de la récursivité sont LISP, développé à partir de 1958, et Algol 60 (à partir de 1960). Depuis, tous les langages de programmation généraux réalisent une implémentation de la récursivité.

Définition

On qualifie de récursive toute fonction qui s'appelle elle-même.

Condition d'arrêt

Dans toute fonction récursive, il est nécessaire d'avoir une condition d'arrêt ; on parle aussi de condition de terminaison.

Exemple

def puissance_rec(x: float, n: int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return x*puissance_rec(x, n-1)

La condition d'arrêt est : \(n=0\) .
Cette condition correspond aussi au cas "simple" où \(x^0=1\) : on connaît le résultat à faire renvoyer par la fonction : 1.

Terminaison

Pour s'assurer de la terminaison d'un algorithme récursif, il suffit d'identifier une suite strictement décroissante d'entiers positifs ou nuls.

Identifier une suite strictement décroissante d'entiers positifs ou nuls permet de prouver qu'un algorithme récursif se termine en un nombre d'appels fini. Si cette suite commence à \(n\), il y aura au maximum \(n\) appels récursifs.

Récursivité simple

Un appel récursif est dit simple si la fonction ne contient qu'un seul appel récursif à elle-même.

Fonction factorielle

Un exemple classique de récursivité simple est celui de la fonction factorielle définie mathématiquement par :

\[ n! =\left \{ \begin{array}{rcl} 0!&=&1 \\ n! &= &n \times (n-1)! \text{ si } n \geq 1 \end{array} \right. \]

def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorielle(n-1)

Récursivité imbriquée

récursivité imbriquée

Un appel récursif est dit imbriqué si l'appel récursif a comme argument un autre appel récursif à la même fonction.

fonction de MacCarthy

Un exemple classique de récursivité imbriquée est celui de la fonction de MacCarthy définie mathématiquement par :

\[ \left \{ \begin{array}{rcl} f(n)&=&n-10 \text{ si } n>100 \\ f(n)&=& f(f(n+11)) \text{ si } n \leq 100 \end{array} \right. \]

def carthy(n):
    if n > 100 :
        return n - 10
    else:
        return carthy(carthy(n+11))

Récursivité multiple

récursivité multiple

Un appel récursif est dit multiple si la fonction contient plusieurs appels récursifs à elle-même.

Suite de Fibonacci

Un exemple classique de récursivité multiple est celui de la fonction de Fibonacci définie mathématiquement par :

\[ \left \{ \begin{array}{rcl} f(0)&=&1 \\ f(1)&=&1 \\ f(n) &=& f(n-1)+f(n-2) \text{ si } n \geq 2 \end{array} \right. \]

def fibonacci(n):
    if n < 2:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

Récursivité croisée

récursivité croisée

Un appel récursif est dit croisé si 2 fonctions récursives s'appellent mutuellement.

Fonctions pairs et impairs

Un exemple classique de récursivité croisée est celui des fonctions de parité \(pair\) et \(impair\) définies mathématiquement par :

\[ \left \{ \begin{array}{rcl} pair(0)& = & Vrai \\ pair(n) &=& impair(n-1) \text{ si } n \geq 1 \end{array} \right. \]

\[ \left \{ \begin{array}{rcl} impair(0) &=& Faux \\ impair(n) &=& pair(n-1) \text{ si } n \geq 1 \end{array} \right. \]

def pair(n):
    if n == 0:
        return True
    else :
        return impair(n-1)

def impair(n):
    if n == 0:
        return False
    else:
        return pair(n-1)

Démontrons que 2+2=4

Dans l'ensemble des entiers naturels 0, 1, 2, 3, ... on peut définir le successeur d'un nombre de la façon suivante:

2' = 3 (qui se lit 2 "prime" = 3). Le successeur de 2 est 3.

De la même façon, 5' = 6 , etc...

La définition de l'addition est alors:

Définition de l'addition dans l'ensemble des entiers naturels

Soit \(n\) un entier naturel:

\(n+0=n\)
pour tout \(m\) entier naturel, \(n+m'=(n+m)'\)

Par conséquent, pour monter que \(2+2=4\):

\(2+2 = 2+1' = (2+1)' = (2+0')' = ((2+0)')' = ((2)')'=3'=4\)

.... -->

Liens

http://monlyceenumerique.fr/nsi_terminale/lp/lp2_recursivite.php

https://iriaf.univ-poitiers.fr/enibook/algorithmic/learning/site/html/recursivite-0-index.html

Dernière mise à jour: January 24, 2023
Créé: January 24, 2023