Compléments sur la dérivation

Dérivées des fonctions composées

Cas général

Propriété

Soient \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) et à valeurs dans un intervalle \(J\), et \(v\) une fonction définie et dérivable sur \(J\).

Alors la fonction \(v \circ u\) est dérivable sur \(I\) et, pour tout réel \(x \in I\), on a:

\((v \circ u)'(x)=u'(x) \times (v' \circ u)(x)\).

Applications à quelques fonctions

Dans cette partie, \(u\) désigne une fonction et \(I\) un intervalle.

Propriété Dérivée de \(\boldsymbol{\sqrt{u}}\)

Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur \(I\), alors \(\sqrt{u}\) est dérivable sur \(I\) et:

\(\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\).

Preuve

Soit un réel \(a\in I\) et un réel \(h>0\) tel que \(a+h\) soit dans \(I\).

On calcule le taux d'accroissement de \(\sqrt{u}\) entre \(a\) et \(a+h\).

\(\dfrac{\sqrt{u(a+h)}-\sqrt{u(a)}}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h\left(\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}\right)} = \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h} \times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}}\).

Or, la fonction \(u\) est dérivable sur \(I\) donc \(\lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)\).

D'où \(\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{u(a+h)}-\sqrt{u(a)}}{h}= u'(a) \times \dfrac{1}{2\sqrt{u(a)}}=\dfrac{u'(a)}{2\sqrt{u(a)}}\).

Exemple

\(f(x) = \sqrt{x^2-x-2}\).
\(g(x)=x \sqrt{x^2+1}\)

Correction

\(f\) est du type \(\sqrt{u}\) avec \(u(x)=x^2-x-2\).

Or, \(u(x)\) est un trinôme de degré 2 ayant deux racines : \(-1\) et \(2\).

Ainsi, \(u(x)\geqslant0\) si \(x\leqslant-1\) ou \(x\geqslant2\) et \(f\) est définie sur \(\mathcal{D}= ]-\infty~;~-1]\,\cup\,[2~;~+\infty[\).

Et comme \(f=\sqrt{u}\) est dérivable sur \(\mathcal{D}\) sauf là où \(u\) s'annule alors \(\mathcal{D}'= ]-\infty~;~-1[\,\cup\,]2~;~+\infty[\). On a \(u'(x)=2x-1\) d'où \(f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-2}}\).
\(g\) est de la forme \(u \times v\) , avec \(u(x)=x \Rightarrow u'(x)=1\) et \(v(x)=\sqrt{x^2+1} \Rightarrow v'(x)=\frac{2x}{2 \sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

\(f\) est dérivable sur \(\R\) comme produit de fonctions dérivables sur \(\R\) et

\(f'(x)=1 \times \sqrt{x^2+1} +x \times \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\).

Propriété Dérivée de \(\boldsymbol{u^n}\) et \(\boldsymbol{u^{-n}}\)

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Si \(u\) est dérivable sur \(I\) alors :

La fonction \(u^n\) est dérivable sur \(I\) et \((u^n)'=nu'u^{n-1}\).
La fonction \(u^{-n}\) est dérivable sur \(I\) sauf là où \(u\) s'annule et \(\left(u^{-n}\right)'=-nu'u^{-n-1}\).

Preuve

On démontre par récurrence. Voici l'initialisation et l'hérédité :

\(\left(u^1\right)'=u'=1 \times u'u^{1-1}\). La proposition est donc initialisée au rang 1.

Supposons qu'il existe un entier \(k\in \mathbb{N^{*}}\) tel que la propriété « \(\left(u^k\right)'=ku'u^{k-1}\) » soit vraie.

\(\left(u^{k+1}\right)'=\left(u^ku\right)'=\left(u^k\right)'u+u^ku'=ku'u^{k-1}u+u^ku'=(k+1)u'u^k\).

La propriété est encore vraie au rang suivant donc elle est héréditaire.
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), alors \(\dfrac{1}{u}\) est dérivable sur \(I\) sauf là où \(u\) s'annule.

\(\left(u^{-n}\right)'=\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=\left[\left(\dfrac{1}{u}\right)^n\right]'=n\left(\dfrac{1}{u}\right)'\left(\dfrac{1}{u}\right)^{n-1}\) d'après la première propriété.

Ainsi : \(\left(u^{-n}\right)'=n\left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)\dfrac{1}{u^{n-1}}=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}=-nu'u^{-n-1}\).

Exemple

\(f(x) = (2x-3)^{5}\)
\(f(x) = \left(\dfrac{3x-1}{2x-4}\right)^2\)
\(f(x) = \dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^3}\)

Correction

On voit le type \(u^5\). Voyons plutôt le type \(u(ax+b)\) avec \(u(x)=x^5\), \(a=2\) et \(b=-3\).

Il est évident que \(\mathcal{D}=\mathcal{D}'=\mathbb{R}\) vu que \(f\) est une fonction polynôme de degré 5 !

On a \(u'(x)=5x^4\) d'où \(f'(x)=au'(ax+b)=2u'(2x-3)=2\times5\left(2x-3\right)^4=10\left(2x-3\right)^4\).
\(f\) est du type \(u^2\) avec \(u(x)=\dfrac{3x-1}{2x-4}\).

Or, \(u\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) donc \(f\) est définie sur \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

\(f\) est dérivable sur son ensemble de définition donc \(\mathcal{D}'=\mathcal{D}\).

On a \(u'(x)=\dfrac{3(2x-4)-2(3x-1)}{\left(2x-4\right)^2}=\dfrac{-10}{\left(2x-4\right)^2}\).

D'où, \(f'(x)=2u'(x)u^{2-1}(x)=2u'(x)u(x)=2\times\dfrac{-10}{\left(2x-4\right)^2}\times\dfrac{3x-1}{2x-4}=-\dfrac{20(3x-1)}{\left(2x-4\right)^3}\).
\(f(x)=\left(\sqrt{x}-1\right)^{-3}\) est du type \(u^{-3}\) avec \(u(x)=\sqrt{x}-1\).

Or, \(u\) est définie sur \([0~;~+\infty[\) et \(f\) aussi sauf là où \(u\) s'annule. Donc, \(\mathcal{D}=[0~;~1[\,\cup\,]1~;~+\infty[\).

La fonction \(x\mapsto\sqrt{x}\) n'est pas dérivable en 0 donc \(u\) et \(f\) aussi. Ainsi, \(\mathcal{D}'=]0~;~1[\,\cup\,]1~;~+\infty[\).

On a \(u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) d'où \(f'(x)=-3u'(x)u^{-3-1}(x)=-3u'(x)u^{-4}(x)=-\dfrac{3}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^4}\).

Propriété Dérivée de \(^u\)

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\). La fonction \(^u\) est dérivable sur \(I\) et \(\left( ^u \right) ' =u' \times ^u\)

Exemple

\(f(x)= ^{-x}\).
\(g(x)=^{0,5x^2-2x+1}\).
\(h(x)= x ^{x^2}\).

Correction

Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=-x\). \(u\) est dérivable sur \(\R\) et \(u'(x)=-1\).

Donc \(f\) est dérivable sur \(\R\) et \(f'(x) = -^{-x}\).
Pour tout réel \(x\), posons \(u(x)=0,5x^2-2x+1\). \(u\) est dérivable sur \(\R\) et \(u'(x)=x-2\).

Donc \(f\) est dérivable sur \(\R\) et \(f'(x) = (x-2) ^{0,5x^2-2x+1}\).
\(f\) est de la forme \(u \times v\) , avec \(u(x)=x \Rightarrow u'(x)=1\) et \(v(x)=^{x^2} \Rightarrow v'(x)=2x ^{x^2}\).

\(f\) est dérivable sur \(\R\) comme produit de fonctions dérivables sur \(\R\) et

\(f'(x)=1 \times ^{x^2}+x \times 2x ^{x^2}=^{x^2} \left(1+2x^2 \right)\).

Convexité

Fonction convexe, Fonction concave

Définitions

Définition

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

Dire que la fonction \(f\) est convexe sur \(I\) signifie que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
Dire que la fonction \(f\) est concave sur \(I\) signifie que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples

La fonction carré \(x \longmapsto x^2\) est convexe.

La fonction inverse \(x \longmapsto \dfrac{1}{x}\) est concave sur \(]-\infty;0[\) et convexe sur \(]0;+\infty[\)

Remarque

Intuitivement, quels que soient les points \(A\) et \(B\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\)

Si le segment \([AB]\) est au-dessus de la courbe alors \(f\) est convexe.
Si le segment \([AB]\) est au-dessous de la courbe alors \(f\) est concave.

Convexité et fonctions dérivées

Théorème

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\).

\(f\) est convexe sur \(I\) si, et seulement si, sa fonction dérivée \(f'\) est croissante sur \(I\).
\(f\) est concave sur \(I\) si, et seulement si, sa fonction dérivée \(f'\) est décroissante sur \(I\).

Théorème

On note \(f''\) la dérivée seconde de la fonction \(f\), c'est à dire la dérivée de la dérivée \(f'\).

Si la dérivée seconde est positive alors la fonction \(f\) est convexe.
Si la dérivée seconde est négative alors la fonction \(f\) est concave.

Preuve

soit \(f\) une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel appartenant à \(I\).

\(C_f\) est sa courbe représentative dasn un repère et \(T\) est la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(a\).

On veut démontrer que : "Si \(f''\) est positive, alors \(f\) est convexe sur \(I\)". c'est-à-dire que sur \(I\), \(c_f\) est au-dessus de \(T\).

Supposons que, pour tout \(x \in I\), \(f''(x)>0\). Soit \(g\) la fonction définie sur \(I\) par : \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a)) \iff g(x)= f(x) -f'(a)(x-a) -f(a)\).

Comme \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\), \(g\) l'est aussi et on a : \(g'(x)=f'(x)-f'(a)\) et \(g''(x)=f''(x)\).

Ainsi : \(g''(x)>0\) et \(g'\) est donc croissante sur \(I\).

Si \(x<a\), alors on a \(g'(x)<g'(a)\). Or, \(g'(a)=0\), donc \(g'(x)<0\).

Donc \(g\) est décroissante, donc \(g(x)>g(a)\).

Or \(g(a)=0\), donc \(g(x)>0\).

Donc \(C_f\) est au-dessus de \(T\).
Si \(x>a\), alors on a \(g'(x)>g'(a)\). Or, \(g'(a)=0\), donc \(g'(x)>0\).

Donc \(g\) est croissante, donc \(g(x)>g(a)\).

Or \(g(a)=0\), donc \(g(x)>0\).

Donc \(C_f\) est au-dessus de \(T\).

Dans les deux cas, \(C_f\) est au-dessus de \(T\), donc la fonction \(f\) est convexe.

Exemple

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par \(f(x)=x^5-5x^4\).

Sa dérivée est la fonction \(f'\) définie sur \(\R\) par \(f'(x)=5x^4-20x^3\).

Sa dérivée seconde est la fonction \(f''\) définie sur \(\R\) par \(f''(x)=20x^3-60x^2=20x^2(x-3)\).

Les variations de \(f'\) se déduisent du signe de sa dérivée \(f''\).

Notons que \(20x^2 \geqslant 0\) donc \(f''(x)\) est du même signe que \(x-3\). D'où le tableau :

\(f\) est concave sur \(\left] -\infty ; 3 \right]\) et convexe sur \(\left[ 3;+\infty \right[\).

Point d'inflexion

Définition

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

S'il existe un point \(A\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\) tel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit que \(A\) est un point d'inflexion.

Propriété

En un point d'inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonction change de convexité.
Si la dérivée \(f'\) change de sens de variation en \(a\) alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse \(a\).
Si la dérivée seconde \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\) alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse \(a\).

Exemple

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par \(f(x)=x^5-5x^4-40x+120\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

Sa dérivée est la fonction \(f'\) définie sur \(\R\) par \(f'(x)=5x^4-20x^3-40\).

Sa dérivée seconde est la fonction \(f''\) définie sur \(\R\) par \(f''(x)=20x^2(x-3)\).

L'équation \(f''(x)=0\) admet deux solutions \(x_1=0\) et \(x_2=3\).

Notons que \(20x^2 \geqslant 0\) donc \(f''(x)\) est du même signe que \(x-3\).

Les variations de \(f'\) se déduisent du signe de sa dérivée \(f''\). D'où le tableau :

En tenant compte des changements de variation de la dérivée \(f'\) on en déduit que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un seul point d'inflexion, le point \(A \left( 3 ; f(3) \right)\).

En effet :

\(f''(0)=0\) mais, sur l'intervalle \(]-\infty ; 3]\) \(f''(x) \leqslant 0\) donc le point \(B \left( 0 ; 120 \right)\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse 0, n'est pas un point d'inflexion. (La fonction \(f\) est concave sur \(]-\infty ; 3]\)).
\(f''\) s'annule en 3 en changeant de signe donc le point \(A \left( 3 ; -162 \right)\) est un point d'inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_f\). (La fonction \(f\) est concave sur \(]-\infty ; 3]\) et convexe sur \([3 ;+\infty [\)).

Dernière mise à jour: January 24, 2023
Créé: January 24, 2023