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DS Probabilités Convexité

Exercice 1: /5 points

*Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte \(1\) point; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.*

  1. Dans une station de sport d'hiver, une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf.

    Dans une télécabine accueillant \(80\) clients de la station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement \(20\) clients pratiquant le surf est :

    a.   0,103 b.   0,25 c.  1 d.  0,560

    Solution

    Réponse a : \(0,103\). Calcul de la probabilité avec la loi binomiale de paramètres \(n=80\), \(p=0,25\) et \(k=20\).

  2. Pour la recherche d'un emploi, une personne envoie sa candidature à \(25\) entreprises. La probabilité qu'une entreprise lui réponde est de \(0,2\) et on suppose que ces réponses sont indépendantes.

    La probabilité, arrondie au millième, que la personne reçoive moins de \(5\) réponses est :

    a.  0,200 b.  0,187 c.  0,617 d.  0,421

    Solution

    Réponse d : \(0,421\). Calcul de la probabilité cumulée avec la loi binomiale de paramètres \(n=25\), \(p=0,2\) et \(k=4\).

  3. \(f\) est la fonction définie sur \(\R\) par \(f(x)=xe^{2x}\). La fonction \(f\) admet pour dérivée la fonction \(f'\) définie sur \(\R\) par :

    a.  \(f'(x)=e^{2x}\) b.  \(f'(x)=2xe^{2x}\) c.  \(f'(x)=(1+2x)e^{2x}\) d.  \(f'(x)=(1+x)e^{2x}\)

    Solution

    Réponse c : \(f'(x)=(1+2x)e^{2x}\). \(f=u \times v\), avec \(u=x \Rightarrow u'=1\) et \(v=e^{2x} \Rightarrow v'=2 e^{2x}\)

  4. \(f\) est la fonction définie sur \(\R\) par \(f(x)=(e^{-x}+1)^3\). La fonction \(f\) admet pour dérivée la fonction \(f'\) définie sur \(\R\) par :

    a.  \(f'(x)=-3e^{-x}(e^{-x}+1)^2\) b.  \(f'(x)=3e^{-x}(e^{-x}+1)^2\) c.  \(f'(x)=3(e^{-x})^2(e^{-x}+1)\) d.  \(f'(x)=-3(e^{-x}+1)^2\)

    Solution

    Réponse a : \(f'(x)=-3e^{-x}(e^{-x}+1)^2\). \(f=u^3\) avec \(u=e^{-x}+1 \Rightarrow u'=-e^{-x}\).

  5. Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle \([-2;3]\). On note \(f'\) sa dérivée.

    La courbe représentative de la fonction dérivée notée \(\mathcal{C}_{f'}\) est donnée ci dessous.

    image

    La fonction \(f\) est :

    a.  convexe sur \([-2;0,5]\) b.  convexe sur \([0,5;3]\) c.  concave sur \([-1;2]\) d.  concave sur \([-2;0,5]\)

    Solution

    Réponse c : concave sur \([-1;2]\). \(f'\) est croissante sur \([-2;-1] \cup [2;3]\), donc \(f\) est convexe sur cet intervalle. \(f'\) est décroissante sur \([-1;2]\), donc \(f\) est concave sur cet intervalle.

exercice Exercice 2: /7 points

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \(0,0001\)  près.

Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.

Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1 % est porteur de la maladie.

On obtient les résultats suivants :

  • si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;

  • si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.

On note :

M l'évènement : \ogl'animal est porteur de la maladie \fg{} ;

T l'évènement : \ogle test est positif \fg.

  1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. \setbar{0.5}

    Solution

    Aucun problème

  2. Un animal est choisi au hasard.

    1. Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?

      Solution

      On suit la première branche : \(p(M \cap T) = p(M) \times p_{M}(T) = 0,01 \times 0,85 = 0,0085\).

    2. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est \(0,058\).

      Solution

      \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales, on a :\ \(p(T) = p(M \cap T)+p(\overline{M} \cap T)\)\ \(p(T) = p(M) \times p_{M}(T) + p\left(\overline{M}\right) \times p_{\overline{M}}(T)\)\ \(p(T)= 0,0085 + 0,99 \times 0,05 = 0,058\).

  3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.

    Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ?

    Solution

    \(p_{T}(M) = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,0085}{0,058} \approx 0,1466\).

  4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif.

    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.

      Solution

      On assimile les tirages à des tirages avec remise. On répète donc 5 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli donc la probabilité du succès ("l'animal est positif") est \(0,058\). Donc \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0,058\).

    2. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?

      Solution

      \(p(X \geq 1)=1-p(X=0)=1-\binom{5}{0} \times 0,058^0 \times (1 - 0,058)^{5}=1-0,942^5 \approx 0,2583\).

  5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1000 euros. On suppose que le test est gratuit.

    On appelle \(Y\) la variable donnant le coût à engager par animal subissant le test.

    1. Donner dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire \(Y\).

      Solution

      \centering\arraybackslash\(y_{i}\) \centering\arraybackslash \(0\) \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash

      \centering\arraybackslash\(p(Y=y_{i}\) \centering\arraybackslash,9405 \centering\arraybackslash,058 \centering\arraybackslash,0015 \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash \centering\arraybackslash

    2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire \(Y\).

      Solution

      \(E(Y)= 0 \times 0,9405 + 100 \times 0,0580 + 1000 \times 0,0015 = 5,80 + 1,50 = 7,30\) €.

    3. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ?

      Solution

      Le coût moyen par animal est \(7,30\) €. Pour 200 bêtes, le coût sera en moyenne de : \(200 \times 7,30 = 1460\) €.

exercice Exercice 3: /8 points

\(f\) est la fonction définie sur \(\R\) par : \(f(x)=(x + 1)^{-\frac{1}{2}x}\).

  1. Calculer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

    Solution

    \(\displaystyle\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim*{x \to -\infty} -\frac{1}{2}x=+\infty\\ \displaystyle\lim*{x \to +\infty} e^x =+\infty \end{array} \right\}\)

    Par composée : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} ^{-\frac{1}{2}x}= +\infty\).

    \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x+1=-\infty\). Donc par produit :

    \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)= -\infty\).

    1. Justifier que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = 2\left(\dfrac{\frac{1}{2}x}{^{\frac{1}{2}x}}\right) + ^{- \frac{1}{2}x}\). \setbar{1}

      Solution

      \(f(x) = (x + 1)^{-\frac{1}{2}x} = x ^{-\frac{1}{2}x} + ^{-\frac{1}{2}x} = \dfrac{x}{^{\frac{1}{2}x}} + ^{-\frac{1}{2}x} = \dfrac{2\frac{1}{2}x}{^{\frac{1}{2}x}} + ^{-\frac{1}{2}x} = 2\left(\dfrac{\frac{1}{2}x}{^{\frac{1}{2}x}}\right) + ^{- \frac{1}{2}x}\)

    2. En déduire la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\). Interpréter graphiquement ce résultat. \setbar{1.5}

      Solution

      On sait que \(\displaystyle\lim_{X\to +\infty} \dfrac{^{X}}{X} = +\infty\) donc \(\displaystyle\lim_{X\to +\infty} \dfrac{X}{^{X}} = 0\).

      On pose \(X=\dfrac{1}{2}x\); \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} X = +\infty\). Par le théorème de croissance comparée, on a donc \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\frac{1}{2}x}{^{\frac{1}{2}x}} = 0\).

      On sait que \(\displaystyle\lim_{X\to +\infty} ^{-X} =0\).

      On pose \(X=\dfrac{1}{2}x\); \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} X = +\infty\). On peut donc dire que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} ^{-\frac{1}{2}x} = 0\).\ Par produit, on peut donc déduire que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = 0\).\ Interprétation graphique : la courbe représentative de la fonction \(f\) admet une asymptote horizontale en \(+\infty\) : la droite d'équation \(y=0\) (l'axe des abscisses).

  3. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\R\) et dresser son tableau de variations. \setbar{1.5}

    Solution

    \(f=u \times v\), avec \(u=x+1 \Rightarrow u'=1\) et \(v=^{-\frac{1}{2}x} \Rightarrow v'=-\dfrac{1}{2}^{-\frac{1}{2}x}\). On obtient : \(f'(x)=\left (-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}\right )^{-\frac{1}{2}x}\)

    Or, pour tout réel \(x\), \(^{-\frac{1}{2}x}>0\) donc \(f'(x)\) est du signe de \(-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2}\) qui s'annule et change de signe pour \(x=1\).

    On établit le tableau des variations de \(f\) sur \(\R\):

    image

    1. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0,07\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l'intervalle \([1~;~ +\infty[\). \setbar{0.5}

      Solution

      Sur \([1~;~+\infty[\), \(f\) est continue, strictement décroissante. \(f(1)=2^{-\frac{1}{2}}>0,07\) et \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = 0\). D'après le Théorème de Valeurs Intermédiaires, l'équation \(f(x)=0,07\) admet une unique solution \(\alpha \in [1~;~+\infty[\).

    2. Donner l'arrondi de \(\alpha\) au dixième près. \setbar{0.5}

      Solution

      A la calculatrice : \(f(10,13) \approx 0,0702\) et \(f(10,14) \approx 0,0699\). Donc \(\alpha \approx 10,1\).

  5. Etudier la convexité de la fonction \(f\) et donner les coordonnées des éventuels points d'inflexion. \setbar{2}

    Solution

    \(f'=u \times v\), avec \(u=-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{1}{2} \Rightarrow u'=-\dfrac{1}{2}\) et \(v==^{-\frac{1}{2}x} \Rightarrow v'=-\dfrac{1}{2}^{-\frac{1}{2}x}\).\ On obtient : \(f''(x)=\left (\dfrac{1}{4}x- \dfrac{3}{4}\right )^{-\frac{1}{2}x} = \frac{1}{4} ^{-\frac{1}{2}x} (x-3)\).\ Pour tout réel \(x\), \(\frac{1}{4} ^{-\frac{1}{2}x}>0\), donc \(f''(x)\) est du signe de \(x-3\).

    • Pour tout réel \(x \leq 3\), \(f''(x) \leq 0\), donc \(f\) est concave sur \(]-\infty ; 3]\).

    • Pour tout réel \(x \geq 3\), \(f''(x) \geq 0\), donc \(f\) est convexe sur \([3;+\infty[\)

    La fonction change de convexité en \(3\), la courbe représentative de la fonction \(f\) admet donc un point d'inflexion dont les coordonnées sont \(( 3 ; f(3))\), soit \(\left(3~;~4e^{-\frac{3}{2}}\right)\).

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Dernière mise à jour: January 24, 2023
Créé: January 24, 2023