Exponentielle - première

Généralités sur la fonction exponentielle

Définition

Théorème

Il existe une unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant, pour tout nombre réel \(x\),:

\(\boxed{f'(x)=f(x)}\) et \(\boxed{f(0)=1}\).

Cette fonction \(f\) vérifiant \(f'=f\) et \(f(0)=1\) est appelée fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est la fonction, notée \(exp\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que:

\(\boxed{exp(0)=1}\) et \(\boxed{exp'=exp}\)

Propriétés algébriques

Théorème

Pour tous nombres réels \(x\) et \(y\), \(\boxed{exp(x+y)=exp(x) \times exp(y)}\).

Cette relation s'appelle relation fonctionnelle.

Autrement dit: l'exponentielle d'une somme de deux nombres est le produit de l'exponentielle de chacun de ces nombres .

Remarque

Cette formule permet de transformer les sommes en produits et réciproquement.

Propriété

Pour tous réels \(x\) et \(y\), on a :

\(exp(-x) \times exp(x)=1 \iff \boxed{exp(-x)=\dfrac{1}{exp(x)}}\)
\(\boxed{exp(x-y)=\dfrac{exp(x)}{exp(y)}}\)
\(\boxed{(exp(x))^n=exp(nx)}\)

Exemple

\(\left(\exp(1)-\exp(-1)\right)^2=(\exp(1))^2-2\exp(1)\exp(-1)+(\exp(-1))^2\)

\(=\!\exp(1\!\times\!2)\!-\!2\exp(1\!-\!1)\!+\!\exp(-1\!\times\!2)\)

\(\!=\!\exp(2)\!-\!2\exp(0)\!+\!\exp(-2)\!=\!\exp(2)\!-\!2\!+\!\exp(-2)\).

Notation puissance

Toutes ces propriétés rappellent celles des puissances, en effet, on rappelle que :

\(a^n \times a^m = a^{n+m}\)
\((a^n)^m=a^{nm}\)
\(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(a^0=1\) et \(a^1=a\)

Les propriétés de la fonction \(exp\) étant ressemblantes, on décide de noter la fonction exponentielle de façon plus simple :

\(exp(x)=e^x\) pour tout \(x\)

On écrit alors les propriétés algébriques précédentes de la façon suivante :

\(e^0=1\) et \(e^1=e\)
\(e^{x+y}=e^x \times e^y\)
\((e^x)^n=e^{nx}\), avec \(n \in \mathbb{N}\)
\(\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\)

Remarque : Le nombre \(e\)

Le nombre \(e^1\) est noté \(e\). Une valeur approchée de ce nombre au millième est \(2,718\).

Exercice d'application 1

Simplifier les écritures suivantes

1. \(A=\dfrac{e^{3x} \times (e^x)^5}{e^{x-2}}\)

2. \(B=\dfrac{e \times e^{2x-1}}{2e^{-x+2}}\)

Exercice d'application 2

Démontrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a: \(\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x+1}\)

Lien avec les suites géométriques

De la propriété : \((e^x)^n=e^{nx}\), avec \(n \in \mathbb{N}\), on en déduit que :

Soit \(a\) un réel et \((u_n)\) la suite de terme général \(e^{na}\) où \(n\) est un entier naturel.

La suite \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0=1\) et de raison \(e^a\).

Exercice d'application

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=10 \times e^{3n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(u_0\)

2. Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

3. Justifier que la suite est croissante puis déterminer à partir de quel rang on a : \(u_n>10^6\)

On peut aussi écrire un algorithme de seuil

A connaitre

#Algorithme de seuil
from math import *

#initialisation
n = 0
u = 10
#boucle pour calculer les termes de la suite jusqu'à ce que le seuil soit franchi
while u<10**6:
    n = n+1
    u = 10*exp(3*n)
print(n)

Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle

Propriété

Pour tout nombre réel \(x\), \(\boxed{e^x>0}\)

Propriété

La fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\boxed{(e^x)'=e^x}\).

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)

Illustration graphique et tableau de variations

Remarques

La droite d'équation \(y=x+1\) est tangente à la courbe représentative au point d'abscisse 0.

En effet l'équation de la tangente à la courbe au point \(0\) est :

\(y=f'(0)(x-0)+f(0) \iff y=e^0 \times x+e^0=1 \times x + 1\iff y=x+1\)

Résolution d'équations et d'inéquations

De la stricte croissance de la fonction exponentielle, on déduit que :

Propriété

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a:

\(\boxed{e^a = e^b \iff a=b}\)
\(\boxed{e^a \leq e^b \iff a \leq b}\)

METHODE : savoir résoudre des équations et des inéquations avec des exponentielles

Pour résoudre une équation d'inconnue \(x\) réel comportant des exponentielles :

On essaye selon le cas de se ramener à :

Une équation de la forme \(e^{u(x)} = e^{v(x)}\) où \(u\) et \(v\) sont deux fonctions.

Alors, \(e^{u(x)} = e^{v(x)} \Leftrightarrow u(x)=v(x)\) et, éventuellement, \(u(x)=v(x) \Leftrightarrow u(x)-v(x)=0\).

La méthode est analogue pour résoudre une inéquation.

Exercice d'application:

Déterminer l'ensemble \(\mathcal{S}\) des solutions des équations et inéquations.

\(e^{x^2+2x-3} = 1\)
\(2e^{2x}-e^x-1=0\)
\(e^{\sqrt{3x-5}} <e\)
\(\dfrac{e^{2x+1}}{^{x-4}}\geqslant e^{x^2-1}\)

Fonctions définies par \(f(x)=e^{-kx}\) et \(f(x)=e^{kx}\)

De façon générale, les fonctions définies par \(f(x)=e^{-ax+b}\) et \(f(x)=e^{ax+b}\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers relatifs, sont appelées fonctions exponentielles.

Propriété

Pour tous réels \(a\) et \(b\) fixés,

la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{ax+b}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=ae^{ax+b}\).
la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{-ax+b}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-ae^{-ax+b}\).

Exemple

La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=-3e^{2x-5}+1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\), \(h'(x)=2 \times (-3e^{2x-5})=-6e^{2x-5}\).

Pour tout réel \(x\) , \(e^{2x-5}>0\), donc on en déduit que \(h'(x)<0\).

Par conséquent, \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Exercice d'application :

Étudier les variations des fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x)=e^{x+1}+x\)
\(g(x)=e^{-2x+6}\)

Dernière mise à jour: January 24, 2023
Créé: January 24, 2023